국어사전에 등록된 단어는 "체망"입니다. "채망"은 등록된 단어가 아닙니다.
- 체망: 찌꺼기나 건더기가 있는 액체를 체에 밭치어 걸러 내는 그물.
- 체: 가루를 곱게 치거나 액체를 밭거나 거르는 데 쓰는 기구. 얇은 나무나 널빤지로 만든 쳇바퀴에 말총, 명주실, 철사 따위로 그물 모양의 쳇불을 씌워 나무못이나 대못을 박아 고정하여 만든다.
"체"를 만드는 기술은 서울시 무형문화재로 등록되어 있는데 현재는 보유자가 없다고 합니다.
...틀을 만드는 재료는 소나무 또는 미루나무, 솔뿌리, 대나무 등이 쓰이고, 체메우는 재료로는 말꼬리털, 소꼬리털 등이 사용되는데, 천연재료로 만든 것은 오랜 보관이 어렵다. 헝겊 또는 나일론천이나 철사 등으로 메우기도 한다. 체를 메우는 구멍에 따라 어레미, 도듸미, 중거리, 가루체, 고운체 등으로 나뉜다. 어레미는 구멍이 제일 넓은 체로 철사나 가늘게 쪼갠 대나무로 메운다. 도듸미는 어레미 보다 좁은 체로 철사로 엮는 것이 보통이다. 중거리는 중체라고도 하며, 천으로 메운다. 가루체는 구멍이 작은 체로 말꼬리털로 메우나, 근래에는 나일론천으로도 메운다. 고운체는 가늘고 구멍이 아주 작은 체로 말꼬리털로 메운다.
체메우기는 조상들의 지혜가 담겨있는 전통적인 공예기술로서, 1998년 8월 10일 무형유산 체장 기능보유자로 최성철씨가 인정받아 우리의 고유한 체 제작기법을 전승하였으며, 2012년 8월 24일자로 보유자가 없는 상태이다...
"체"는 다음 그림과 같이 생겼습니다.

비슷한 표현으로 "채반"이라는 것이 있습니다. "체반"이 아니라 "채반"입니다.
- 채반: 껍질을 벗긴 싸릿개비나 버들가지 따위의 오리를 울과 춤이 거의 없이 둥글넓적하게 결어 만든 채그릇.
이건 야채나 과일을 말릴 때 쓰거나 명절에 전을 담는 용도로 많이 사용합니다.

결론적으로는 "체망(O)", "채망(X)", "채반(O)", "체반(X)"입니다만, 현실은 그렇지 않습니다. 워낙 표현이 헷갈리다 보니 쇼핑몰에서 상품을 등록할 때 가능한 모든 단어를 다 등록해버리고 있습니다. 그래서 어느 단어로 검색을 하든 결과가 나와서 이게 잘못된 단어인지 알 수가 없습니다.

"체망"은 영어로는 "Mesh Strainer" 또는 "Sieve"로 번역할 수 있습니다.